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踏雪无痕 - 2008-6-19 8:38:00

数列之无敌解法

详细研读本篇数列解法和例题，可快速解决任何MBA数列问题。

基本数列是等差数列和等比数列

一、等差数列
一个等差数列由两个因素确定：首项a1和公差d.
得知以下任何一项，就可以确定一个等差数列（即求出数列的通项公式）：
1、首项a1和公差d
2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意两项a(n)和a(m)，n,m为已知数

等差数列的性质：
1、前N项和为N的二次函数（d不为0时）
2、a(m)-a(n)=(m-n)*d
3、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)也是等差数列

例题1：已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25)
解： a(9)-a(5)=4*d=16-8=8
a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40
a(25)=48

例题2：已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12)
解：a(6)、a(9)、a(12)成等差数列
a(12)-a(9)=a(9)-a(6)
a(12)=2*a(9)-a(6)=25
二、等比数列
一个等比数列由两个因素确定：首项a1和公差d.
得知以下任何一项，就可以确定一个等比数列（即求出数列的通项公式）：
1、首项a1和公比r
2、数列前n项和s(n),因为s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意两项a(n)和a(m)，n,m为已知数

等比数列的性质：
1、a(m)/a(n)=r^(m-n)
2、正整数m、n、p为等差数列时，a(m)、a(n)、a(p)是等比数列
3、等比数列的连续m项和也是等比数列
即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)构成的数列是等比数列。
四、已知数列通项公式A（N），求数列的前N项和S（N）。
这个问题等价于求S（N）的通项公式，而S（N）=S（N-1）+A（N），这就成为递推数列的问题。
解法是寻找一个数列B（N），
使S（N）+B（N）=S（N-1）+B（N-1）
从而S（N）=A（1）+B（1）-B（N）
猜想B（N）的方法：把A（N）当作函数求积分，对得出的函数形式设待定系数，利用B（N）-B（N-1）=-A（N）求出待定系数。

例题1：求S（N）=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N
解：S（N）=S（N-1）+N*2^N
N*2^N积分得（N*LN2-1）*2^N/(LN2)^2
因此设B（N）=（PN+Q)*2^N
则（PN+Q)*2^N-[P（N-1）+Q)*2^（N-1）=-N*2^N
（P*N+P+Q）/2*2^N=-N*2^N
因为上式是恒等式，所以P=-2，Q=2
B（N）=（-2N+2)*2^N
A（1）=2，B（1）=0
因此：S（N）=A（1）+B（1）-B（N）
=（2N-2）*2^N+2

例题2：A（N）=N*（N+1）*（N+2），求S（N）
解法1：S（N）为N的四次多项式，
设：S（N）=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E
利用S（N）-S（N-1）=N*（N+1）*（N+2）
解出A、B、C、D、E

解法2：
S（N）/3！=C（3，3）+C（4，3）+...C（N+2，3）
=C（N+3，4）
S（N）=N*（N+1）*（N+2）*（N+3）/

本篇给出求简单递推数列通项公式的通用解法，并由此思路解一个老题

以下记A（N）为数列第N项

1、已知A1=1，A（N）=2A（N-1）+1，求数列通项公式
解：由题意，A（N）+1=2[A（N-1）+1]
即 A（N）+1是以2为首项，2为公比的等比数列
因此 A(N)+1=2^N
数列通项公式为 A(N)=2^N-1

2、通用算法
已知A1=M，A（N）=P*A（N-1）+Q，P《》1，求数列通项公式
解：设 A（N）+X=P*[A（N-1）+X]
解得 X=Q/（P-1）
因此 A（N）+Q/（P-1）是以A1+Q/（P-1）为首项，P为公比的等比数列
由此可算出A（N）通项公式

3、已知A1和A2， A（N）=P*A（N-1）+Q*A（N-2），求数列通项公式
解题思路：设 A（N）+X*A（N-1）=Y*[A（N-1）+X*A（N-2）]
代入原式可得出两组解，对两组X，Y分别求出
A（N）+X*A（N-1）的通项公式
再解二元一次方程得出A（N）
注：可能只有一组解，但另有解决办法。
4、现在用上面的思路来解决一个著名的问题：
N个球和N个盒子分别编号从1到N，N个球各放入一个盒子，求没有球与盒子编号相同的放法总数。

解：设A（N）为球数为N时满足条件的放法（以下称无配对放法）总数，
易知A1=0，A2=1
当N》2时，一号球共有N-1种放法，假设1号球放入X号盒子
在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球正好放入1号盒子，
问题等价于有N-2个球的无配对放法，放法总数为：A（N-2）
在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球没有放入1号盒子，
则可以把X号球看作1号球，问题等价于有N-1个球的无配对放法，
放法总数为：A（N-1）

因此有 A（N）=（N-1）*[A（N-1）+A（N-2）]
上式可变换为： A（N）-NA（N-1）
=-[A（N-1）-（N-1）*A（N-2）]
按等比数列得出： A（N）-NA（N-1）=（-1）^N
上式除以N！得出：
A（N） A（N-1）（-1）^N
------- = ---------------- + -----------------
N！（N-1）！ N！

把 A（N）/N！当作新的数列，把（-1）^N/N！也作为一个数列
则 A（N）等于数列（-1）^N/N！从第二项到第N项的和再乘以N

另外可得出：
N球恰有K球与盒子配对的放法总数为： C（N，K）*A（N-K

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