中国留学之家，中国最优秀的留学咨询公司，全球顶尖大学申请专家！ MBA数学提高5:排列组合与集合的关系数学的提高6:解决有关柯西定理的证明题

monster - 2008-6-19 15:28:00

MBA数学提高5:排列组合与集合的关系

一、集合元素的个数以最常见的全排列为例，用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，则每一个九位数都是集合A的一个元素，集合A中共有9！个元素。以下我们用S（A）表示集合A的元素个数。

二、集合的对应关系两个集合之间存在对应关系（以前学的函数的概念就是集合的对应关系）。如果集合A与集合B存在一一对应的关系，则S（A）=S（B）如果集合A中每个元素对应集合B中N个元素，则集合B的元素个数是A的N倍（严格的定义是把集合B分为若干个子集，各子集没有共同元素，且每个子集元素个数为N，这时子集成为集合B的元素，而A的元素与B的子集有一一对应的关系，则S（B）=S（A）*N

monster - 2008-6-19 15:29:00

I 节约脑力--怎样构造函数，解决有关柯西定理的证明题

先举个例子
设函数F（X）在[A，B]连续，在（A，B）可导，且F（A）=F（B）=0，求证存在S属于（A，B），使 S*F（S）+F‘（S）=0

这类问题都可以化成求S，使F（S）=G（S）*F’（S）的问题，解决方法是构造函数。

令 G1（X）=-1/G（X）的积分
Q（X）=e^G1(X)
则我们构造出F（X）*Q（X）这个函数，再用柯西定理去解决。

试试看，不用再绞尽脑汁去构造函数。

文章开头的例子的解法：
求S 使S*F（S）+F‘（S）=0
即F（S）=-1/S*F‘（S）
令G（X）=-1/X
则G1（X）=-1/G（X）积分=X积分=X*X/2
则Q(X)=e^(X*X/2)

现在我们构造出函数 P（X）=F（X）*Q（X）=F（X）*e^(X*X/2)
则函数P（X）在[A，B]连续，在（A，B）可导，且P（A）=P（B）=0
根据柯西定理，存在一点S，使P’（S）=0
P‘（X）=F（X）*e^(X*X/2)*X+F’（X）*e^(X*X/2)
=[X*F（X）+F‘（X）]*e^(X*X/2)
存在S使P’（X）=0，
因为e^(X*X/2)《》0
所以S*F（S）+F‘（S）=0

这些通用解法可以节省时间，否则要想出Q(X)=e^(X*X/2)太费劲

踏雪无痕 - 2008-6-19 21:05:00

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