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monster - 2008-6-19 15:30:00

1、某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法共有多少种？(462)
【思路1】剩下的5个分配到5个班级。c(5,7)
剩下的5个分配到4个班级。c(1,7)*c(3,6)
剩下的5个分配到3个班级。c(1,7)*c(2,6) c(2,7)*c(1,5)
剩下的5个分配到2个班级。c(1,7)*c(1,6) c(1,7)*c(1,6)
剩下的5个分配到1个班级。c(1,7)
所以c(5,7) c(1,7)*c(3,6) c(1,7)*c(2,6) c(2,7)*c(1,5) c(1,7)*c(1,6) c(1,7)*c(1,6) c(1,7)=462
【思路2】C(6,11)=462

2、在10个信箱中已有5个有信，甲、乙、丙三人各拿一封信，依次随便投入一信箱。求：
（1）甲、乙两人都投入空信箱的概率。
（2）丙投入空信箱的概率。
【思路】（1）A=甲投入空信箱，B=乙投入空信箱，P(AB)=C(1,5)*C(1,4)/(10*10)=1/5
（2）C=丙投入空信箱，
P(C)=P(C*AB) P(C* B) P(C*A ) P(C*3)
$=(5*4*3 5*5*4 5*6*4 5*5*5)//1000=0.385$

3、设A是3阶矩阵，b1=(1,2,2)的转置阵，b2=(2,-2,1)的转置阵,b3=(-2,-1,2)的转置阵,满足Ab1=b1,Ab2=2b2,Ab3=3b3,求A.
【思路】可化简为A(b1,b2,b3)= (b1,b2,b3)
求得A= (b1,b2,b3)

4、已知P（A）=X,P(B)=2X,P(C)=3X且P(AB)=P(BC),求X的最大值。
【思路】P(BC)=P(AB)=P(A)=X

P(BC)=P(AB)小于等于P(A)=X

P(B C)=P(B) P(C)-P(BC)大于等于4X

又因为P(B C)小于等于1

4X小于等于1 ，X小于等于1/4

所以X最大为1/4

5、在1至2000中随机取一个整数，求
（1）取到的整数不能被6和8整除的概率
（2）取到的整数不能被6或8整除的概率
【思路】设A=被6整除，B=被8整除；
$P(B)=[2000//8]/2000=1//8=0.125$；
$P(A)=[2000//6]/2000=333//2000=0.1665；[2000//x]$代表$2000//x$的整数部分；

(1)求1-P(AB);AB为A、B的最小公倍数；
$P(AB)=[2000//24]//2000=83//2000=0.0415$；答案为$1-0.0415=0.9585$

(2)求$1-P(A B);P(A B)=P(A) P(B)-P(AB)=0.25$；答案为$1-0.25=0.75$.

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